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<title>Allabschluss</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Allabschluss</span></h1>
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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Als <b>Allabschluss</b> bezeichnet man eine <a href="Syntax" title="Syntax">syntaktische</a> Operation in der <a href="Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a>, durch welche für alle sogenannten <a href="Freie_Variable_und_gebundene_Variable" title="Freie Variable und gebundene Variable">freien Variablen</a> einer Formel F eine Allquantifizierung, d. h. eine Quantifizierung mittels des <a href="Allquantor" class="mw-redirect" title="Allquantor">Allquantors</a> ∀ vorgenommen wird. Formal:
</p>
<ul><li>Der Allabschluss ∀(F) einer Formel F lautet</li></ul>
<ol><li>F, falls F geschlossen ist (d. h. nicht über freie Variablen verfügt)</li>
<li>∀x<sub>1</sub>...x<sub>n</sub> F falls x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub> freie Variablen in F sind.</li></ol>
<p>Der Allabschluss kann auch für Formelmengen definiert werden:
</p>
<ul><li>Sei S eine Menge von Formeln. Dann ist der Allabschluss ∀S die Menge ∀S := {∀(F) | F∈S}.</li></ul>
<p>Die zum Allabschluss analoge Operation mit dem <a href="Existenzquantor" class="mw-redirect" title="Existenzquantor">Existenzquantor</a> ∃ heißt <b>Existenzabschluss</b>.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Äquivalenz_und_Allgemeingültigkeit_des_Allabschlusses"><span id=".C3.84quivalenz_und_Allgemeing.C3.BCltigkeit_des_Allabschlusses"></span>Äquivalenz und Allgemeingültigkeit des Allabschlusses</h2></div>
<p>Der Allabschluss ist im Allgemeinen nicht logisch äquivalent zur Ursprungsformel, d. h.
</p>
<ul><li>F <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \equiv }">
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<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo>≡<!-- ≡ --></mo>
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</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \equiv }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c5c34250859b6f6d2a77b4e8a2ceaa90638076d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.081ex; margin-bottom: -0.253ex; width:1.808ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \equiv }" loading="lazy"></span> ∀(F) gilt nicht für alle F.</li></ul>
<p>Er bewahrt jedoch die Allgemeingültigkeit einer Formel, d. h.
</p>
<ul><li>Wenn F allgemeingültig, dann ist auch ∀(F) allgemeingültig.</li></ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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